1 Κύκλος και στοιχεία του κύκλου
1.1 Η Έννοια του Κύκλου και τα Στοιχεία του
Θεωρία – Ορισμοί – Ιδιότητες
Περιφέρεια Κύκλου: Είναι μια επίπεδη κλειστή καμπύλη γραμμή, της οποίας όλα τα σημεία απέχουν εξίσου από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου της.
Κέντρο: Το σταθερό σημείο (συμβολίζεται συνήθως με Ο ή Κ) από το οποίο ισαπέχουν όλα τα σημεία της περιφέρειας.
Ακτίνα (ρ): Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει το κέντρο με ένα οποιοδήποτε σημείο της περιφέρειας, καθώς και το μήκος αυτού του τμήματος. Ιδιότητα: Όλες οι ακτίνες μιας περιφέρειας είναι ίσες.
Χορδή: Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο τυχαία σημεία της περιφέρειας.
Διάμετρος (δ): Η χορδή που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου. Ιδιότητες: Είναι η μεγαλύτερη χορδή, ισούται με δύο ακτίνες (\(\delta = 2ρ\)) και χωρίζει την περιφέρεια σε δύο ίσα μέρη που λέγονται ημιπεριφέρειες.
Τόξο: Ένα οποιοδήποτε μέρος της περιφέρειας που ορίζεται από δύο σημεία της.
Σχεδιασμός: Ο κύκλος σχεδιάζεται με το γεωμετρικό όργανο που ονομάζεται διαβήτης.
Παραδείγματα
- Σχεδίαση περιφέρειας με κέντρο Ο και ακτίνα \(R = 3\text{ cm}\) με χρήση διαβήτη.
- Ορισμός διαμέτρου ΑΒ σε έναν κύκλο, η οποία αποτελείται από τις ακτίνες ΟΑ και ΟΒ.
- Αναγνώριση χορδής ΓΔ που συνδέει δύο τυχαία σημεία χωρίς να περνά από το κέντρο.
- Υπολογισμός διαμέτρου: Αν η ακτίνα είναι \(4\text{ cm}\), τότε η διάμετρος είναι \(8\text{ cm}\).
- Σήμανση τόξου ΑΜΒ πάνω στην περιφέρεια χρησιμοποιώντας τρία γράμματα για σαφήνεια.
Ασκήσεις
- Σχεδιάστε έναν κύκλο \((Ο, 4\text{ cm})\) και χαράξτε μια ακτίνα ΟΑ και μια διάμετρο ΒΓ.
- Πόση είναι η διάμετρος μιας περιφέρειας αν η ακτίνα της είναι \(5\text{ cm}\);.
- Σχεδιάστε μια χορδή ΑΒ μήκους \(3\text{ cm}\) σε έναν κύκλο ακτίνας \(4\text{ cm}\).
- Πάρτε τρία σημεία Α, Β, Γ πάνω σε μια περιφέρεια και ονομάστε τα διαδοχικά τόξα που ορίζονται.
- Εξηγήστε γιατί κάθε διάμετρος είναι και χορδή, αλλά κάθε χορδή δεν είναι διάμετρος.
- Σχεδιάστε δύο κάθετες διαμέτρους ΑΒ και ΓΔ σε έναν κύκλο. Πόσα τεταρτημόρια σχηματίζονται;.
- Αν ένα σημείο Μ απέχει από το κέντρο Ο απόσταση \(d < R\), πού βρίσκεται το Μ σε σχέση με την περιφέρεια;.
- Βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου που έχει διάμετρο \(12\text{ cm}\).
- Σχεδιάστε έναν κύκλο και μια ευθεία που να τον τέμνει σε δύο σημεία. Πώς λέγεται αυτή η ευθεία και πώς το τμήμα που ορίζεται εσωτερικά;.
- Πόσες διάμετροι μπορούν να σχεδιαστούν σε έναν κύκλο;.
1.2 Κύκλος vs Κυκλικός Δίσκος & Κατασκευή Τριγώνου
Θεωρία – Ορισμοί – Ιδιότητες
- Διάκριση Κύκλου και Δίσκου:
- Περιφέρεια: Είναι μόνο η κλειστή γραμμή (το “σύνορο”).
- Κυκλικός Δίσκος (ή Κύκλος ως επιφάνεια): Είναι το επίπεδο χωρίο που περικλείεται από την περιφέρεια, συμπεριλαμβανομένης και της ίδιας της γραμμής. Τα εσωτερικά σημεία του δίσκου απέχουν από το κέντρο απόσταση \(d \le ρ\).
- Κατασκευή Τριγώνου (με δοσμένες 3 πλευρές \(a, \beta, \gamma\)):
- Χαράσσουμε με τον χάρακα το ένα τμήμα (π.χ. τη βάση \(B\Gamma = a\)).
- Με κέντρο το ένα άκρο (Β) και ακτίνα ίση με τη δεύτερη πλευρά (\(\gamma\)), γράφουμε έναν κύκλο (ή τόξο).
- Με κέντρο το άλλο άκρο (\(\Gamma\)) και ακτίνα ίση με την τρίτη πλευρά (\(\beta\)), γράφουμε έναν δεύτερο κύκλο (ή τόξο).
- Το σημείο τομής των δύο κύκλων είναι η τρίτη κορυφή (Α) του τριγώνου.
Αλλάξτε το μέγεθος των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ, αλλάζοντας τις τιμές των δρομέων α, β και γ.
Τι παρατηρείτε αν α>β+γ;
- Τριγωνική Ανισότητα: Για να είναι δυνατή η κατασκευή, πρέπει το άθροισμα των δύο πλευρών να είναι πάντα μεγαλύτερο από την τρίτη (\(a+\beta > \gamma\)).
Παραδείγματα
- Κατασκευή τριγώνου με πλευρές \(3\text{ cm}, 4\text{ cm}, 5\text{ cm}\). Σχεδιάζουμε τη βάση \(5\text{ cm}\) και βρίσκουμε την κορυφή με τόξα \(3\text{ cm}\) και \(4\text{ cm}\).
- Διάκριση: Ένα σημείο που απέχει \(2\text{ cm}\) από το κέντρο κύκλου ακτίνας \(3\text{ cm}\) ανήκει στον κυκλικό δίσκο αλλά όχι στην περιφέρεια.
- Αποτυχία κατασκευής: Πλευρές \(3\text{ cm}, 4\text{ cm}, 8\text{ cm}\) δεν σχηματίζουν τρίγωνο διότι \(3+4 < 8\) (τα τόξα δεν τέμνονται).
- Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς \(4\text{ cm}\) χρησιμοποιώντας την ίδια ακτίνα διαβήτη και από τα δύο άκρα της βάσης.
- Προσδιορισμός εσωτερικού σημείου Μ δίσκου όπου ισχύει η απόσταση \(ΟΜ < R\).
Ασκήσεις
- Σχεδιάστε έναν κυκλικό δίσκο ακτίνας \(3\text{ cm}\) και χρωματίστε την επιφάνειά του.
- Κατασκευάστε τρίγωνο με πλευρές \(5\text{ cm}, 7\text{ cm}\) και \(8\text{ cm}\).
- Είναι δυνατή η κατασκευή τριγώνου με πλευρές \(2\text{ cm}, 5\text{ cm}, 45\text{ mm}\); Αιτιολογήστε.
- Σε έναν κύκλο \((Ο, 5\text{ cm})\), πού βρίσκονται τα σημεία που απέχουν από το Ο αποστάσεις \(3\text{ cm}, 5\text{ cm}\) και \(7\text{ cm}\) αντίστοιχα;.
- Κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο με βάση \(6\text{ cm}\) και πλευρές \(5\text{ cm}\).
- Σχεδιάστε δύο ομόκεντρους κύκλους με ακτίνες \(2\text{ cm}\) και \(4\text{ cm}\). Πώς ονομάζεται η επιφάνεια μεταξύ τους;.
- Δείξτε με σχήμα γιατί η περιφέρεια είναι υποσύνολο του κυκλικού δίσκου.
- Κατασκευάστε τρίγωνο με πλευρές \(a=6,3\text{ cm}, \beta=55\text{ mm}\) και \(\gamma=60\text{ mm}\).
- Πάρτε ένα σημείο Α και βρείτε το σύνολο των κέντρων όλων των κύκλων ακτίνας \(2\text{ cm}\) που περνούν από το Α.
- Σχεδιάστε μια χορδή ίση με την ακτίνα του κύκλου. Τι είδους τρίγωνο σχηματίζεται με τις ακτίνες προς τα άκρα της;.
- Σχεδίαση με διάμετρο: Σχεδιάστε έναν κύκλο με κέντρο \(O\) και διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα \(AB = 2,5 \text{ cm}\).
- Χορδές και Ακτίνες: Σχεδιάστε έναν κύκλο \((O, 3 \text{ cm})\), ορίστε ένα σημείο \(A\) πάνω σε αυτόν και χαράξτε τις χορδές \(AB = 1,2 \text{ cm}\) και \(A\Gamma = 3 \text{ cm}\).
- Ομόκεντροι Κύκλοι: Σχεδιάστε τρεις ομόκεντρους κύκλους με κέντρο \(O\) και διαμέτρους \(3,2 \text{ cm}\), \(5 \text{ cm}\) και \(3,4 \text{ cm}\).
- Προσδιορισμός Στοιχείων: Αν σχεδιάσετε έναν κύκλο με διάμετρο \(AB = 3,6 \text{ cm}\), προσδιορίστε τη θέση του κέντρου και το μήκος της ακτίνας του.
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !